例如，要计算梁的水平位移，可以写出以下公式：
现在，如果将这些方程与边界条件放在一起，它们就得到了强形式。强形式可以用来求解简单单元。.
3.4.2. 功或能方法
利用功或能的方法推导二维和三维单元的刚度矩阵和方程要容易得多。虚功原理（利用虚位移）、最小势能原理和卡氏定理常用于推导单元方程。.
此外，即使不存在势函数，也可以应用虚功原理。.
随后，该原理常用于推导所有其他应力分析刚度矩阵和单元方程。.
与最小势能原理所用的函数类似的函数在推导单元刚度矩阵和方程方面非常有用，可以扩展有限元方法在结构应力分析领域的应用。.
泛函是一个积分表达式，它隐含地包含描述问题的微分方程。一个典型的泛函形式如下： 其中 u(x) 和 F 均为实数，因此 I(u) 也是实数。 .
我们可以用以下方程进行结构分析：
3.4.3. 加权残差法
加权残差法，特别是伽辽金法，对于建立单元方程非常有用。凡是能量法适用的地方，这些方法都能得到相同的结果。当诸如势能之类的函数不易获得时，它们尤其有用。加权残差法允许将有限元方法直接应用于任何微分方程。在该方法中，满足微分方程的函数被近似为若干个假定试探函数的和，每个试探函数的系数都未知。.
将此近似解代入微分方程。在微分方程模式下，我们可以写成：
误差的方程（称为残差）是一个误差函数，我们可以这样写：
如果 y*(x) 的值是精确值，则误差函数等于零。.
如果我们把每个试探函数乘以残差，并将该乘积的积分设为零，就可以计算出使残差最小的未知系数。这样就得到了微分方程的近似解。现在，任何未知系数都可以用误差函数来计算：
每个单元都必须有自己的位移函数。这种方法比最小势能原理更具普适性。为了解决奇异性问题，我们必须使用边界条件。我们需要边界条件来保持结构的位置不变，而不是像刚体一样运动，因此“a”和“b”就是我们问题的边界条件。.
你是不是觉得无聊？！我们来做个例子，以便更好地理解。.
3.4.4. 弹簧单元刚度矩阵的推导
现在我们将使用直接平衡法推导一维线性弹簧的刚度矩阵。该弹簧遵循胡克定律，并且只抵抗沿弹簧方向的力。.
我们现在希望建立弹簧单元节点力与节点位移之间的关系。刚度矩阵将基于这种关系。因此，我们提出节点力矩阵与节点位移矩阵之间的以下关系：
如图 3 所示，考虑在沿弹簧轴向 x 方向的节点拉力 T 作用下的线性弹簧元件处于平衡状态。.
图 4：受拉力作用且处于平衡状态的弹簧
必须定义应变/位移关系和应力/应变关系。节点位移之差代表弹簧的总变形量，如下所示：
与其考虑应力/应变关系，不如考虑力/变形关系：
现在我们可以这样写：
我们可以通过代入力分量来改写方程，如下所示：
现在将上述方程组表示为一个单一的矩阵方程：
然后，对于由多个元素组成的结构
t，我们必须组装单元方程以获得全局方程并引入边界条件。.
在哪里 和 现在，单元刚度矩阵和力矩阵以全局参考系表示。.
然后通过施加边界条件（例如支撑条件）并同时求解方程组来计算位移：
最后，通过回代法确定单元力。.
3.5. 第5步：组装单元方程以获得全局或总方程，然后添加边界条件
在推导出每个单独单元的刚度矩阵之后，我们现在需要将它们组合起来，对整个结构进行建模。.这个过程被称为 集会.
在步骤 5 中，我们 汇总所有单元节点平衡方程 组成一套完整的 全局节点平衡方程.简单来说，我们将所有的小元素拼凑起来，形成结构的整体。.
构建全球体系主要有两种方法：
标准组装方法：基于共享节点，系统地将每个单元的贡献添加到全局刚度矩阵中。.
直接刚度法：一种更直接、通常也更简单的方法，基于应用 节点力平衡 直接地。.在这种方法中，我们从一开始就假设每个节点的力处于平衡状态，从而确保所有元件无缝地结合在一起。.
🔵 重要概念：这 连续性 或者 兼容性 结构在组装过程中至关重要。.这意味着：
结构必须保持完整（各部分之间不能有撕裂或分离）。.
单元间共享节点处的位移必须保持一致。.
最后，, 边界条件 （例如固定支撑、滚轮或规定的位移）应用于全局系统。.这些条件是使该系统可解且具有物理意义的必要条件。.
最终得到的矩阵形式的全局方程如下：
如前所述，{F} 是全局节点力向量，[K] 是结构全局或总刚度矩阵（对于大多数问题，全局刚度矩阵是方阵且对称的），{u} 是结构已知和未知节点自由度或广义位移的向量。.
单元刚度矩阵定义了当一组力和力矩作用于单元中的每个节点时，每个节点的位移量。此外，它是求解每个节点位移的关键。图 5 仅显示了一个单元，但我们的整体网格将由更多单元组成。.
图 5：单个单元的刚度矩阵
例如，在二维梁中，我们可以将所有单元的各个刚度矩阵（图 6）组装成一个巨大的全局刚度矩阵，该矩阵定义了当载荷施加到结构上时整个结构将如何位移。.
图 6：二维梁各单元的刚度矩阵
与单元刚度矩阵类似，全局刚度矩阵也是一个方阵，其行数和列数等于模型中的自由度总数。单元刚度矩阵根据单元之间的连接方式组合起来形成全局刚度矩阵。图7显示单元1和单元2连接在节点2处，这表明由于这两个单元连接在同一节点上，因此它们在该公共节点处的位移必须相同。.
图 7：二维梁单元的全局刚度矩阵